运动与力

运动的描述

质点

质点（Mass Point）：用来代替物体、具有物体全部质量的点，是一种理想化模型。

• 把物体看作质点，是为了忽略形状和大小，突出研究的主要因素；
• 物体能否看作质点，取决于形状和大小对所研究问题的影响是否可忽略；
• 与物体的大小无关：地球绕太阳公转可视为质点，研究地球自转则不能。

同一物体在不同问题中，能否视为质点的结论可能不同。

参考系与坐标系

• 参考系（Reference Frame）：描述物体运动时，假定不动、用作参照的物体。选不同参考系，同一运动的描述可能不同；
• 通常以 地面 为参考系，未特别说明时默认如此；
• 坐标系：在参考系上建立的定量描述位置的数学工具。直线运动建一维坐标轴，平面运动建平面直角坐标系。

运动是绝对的，静止是相对的。「太阳东升西落」是以地面为参考系得到的描述。

时间与时刻

• 时刻：某一瞬间，对应时间轴上的一个 点，如「第 2 秒末」；
• 时间间隔（简称时间）：两个时刻之间的间隔，对应时间轴上的一 段，如「前 3 秒内」；
• 「第 3 秒末」与「第 4 秒初」是同一时刻；「第 3 秒内」指从第 2 秒末到第 3 秒末，历时 1 秒。

位移与路程

• 路程：物体运动 轨迹的长度，是标量，恒为正；
• 位移（Displacement）：由初位置指向末位置的 有向线段，是矢量，用 $\vec{x}$ 表示，方向由初指向末。

	路程	位移
矢量标量	标量	矢量
方向	无	初位置指向末
大小	轨迹总长度	初末位置间直线距离

• 位移大小 不超过 路程；只有单向直线运动时两者相等；
• 物体回到出发点时，位移为 $0$，路程不为 $0$。

速度

速度（Velocity）：描述物体位置变化 快慢 的物理量，是矢量，方向与运动方向相同。

$$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$

单位为 $\text{m/s}$。

• 平均速度：位移与所用时间之比，$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$，方向与位移相同；
• 瞬时速度：某一时刻（或某一位置）的速度，$\Delta t\to 0$ 时平均速度的极限；
• 速率：瞬时速度的大小，是标量。平均速率是路程与时间之比，与平均速度大小一般不等。

	平均速度	平均速率
定义	位移 $/$ 时间	路程 $/$ 时间
矢量标量	矢量	标量

在 $x\text{-}t$ 图像中，平均速度是图线上两点连线（割线）的斜率；当 $\Delta t\to 0$，割线趋近于切线，斜率即为瞬时速度。速度是位置对时间的变化率。

加速度

加速度（Acceleration）：描述 速度变化快慢 的物理量，等于速度的变化量与所用时间之比，是矢量。

$$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t}$$

单位为 $\text{m/s}^2$。

• 加速度方向与 速度变化量 $\Delta v$ 的方向相同，不一定与速度方向相同；
• $a$ 与 $v$ 同向 时物体 加速，反向 时 减速；
• 加速度大不代表速度大：$v$ 大而 $a=0$ 时速度不变，$v=0$ 而 $a$ 大时速度变化快。

判断加减速看 $a$ 与 $v$ 的方向关系，与它们的大小无关。这是本章最易出错处。

几种典型情形：$a$ 与 $v$ 同向且 $a$ 不变，是匀加速；$a$ 与 $v$ 反向且 $a$ 不变，是匀减速；$a$ 逐渐减小到零，速度增大到最大且不再变化。加速度描述的是速度 变化 的快慢，与速度本身的大小无关。

	速度 $v$	加速度 $a$
意义	位置变化快慢	速度变化快慢
决定因素	位移与时间	速度变化与时间
大小是否关联	互不决定，各自独立	—

匀变速直线运动的研究

匀变速直线运动

匀变速直线运动：沿直线运动且 加速度恒定（大小方向都不变）的运动。

• $a$ 与 $v$ 同向为 匀加速，反向为 匀减速；
• 速度随时间 均匀变化，相等时间内速度变化量相等。

基本公式

以初速度 $v_0$、加速度 $a$、时间 $t$ 为基础，三个基本公式：

$$v=v_0+at$$ $$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$ $$v^2-v_0^2=2ax$$

• 速度公式 $v=v_0+at$：不含位移；
• 位移公式 $x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$：不含末速度；
• 速度位移公式 $v^2-v_0^2=2ax$：不含时间，处理不涉及时间的问题最简便。

规定初速度方向为正方向，$a$、$v$、$x$ 均为代数量：与正方向同为正、反为负。匀减速时 $a$ 取负值。

三个公式共含 $v_0$、$v$、$a$、$t$、$x$ 五个量，其中独立的只有两个。已知任意三个量，即可解出其余两个。解题时把已知量与待求量列出，缺哪个量就选不含该量的公式，可省去联立。

两个推论

平均速度公式：匀变速直线运动中，某段时间内的平均速度等于这段时间 中间时刻的瞬时速度，也等于初末速度的平均值。

$$\bar{v}=v_{t/2}=\frac{v_0+v}{2}$$

中间位置的速度：位移中点处的瞬时速度，等于初末速度的方均根。

$$v_{x/2}=\sqrt{\frac{v_0^2+v^2}{2}}$$

无论加速还是减速，恒有 $v_{x/2}>v_{t/2}$：位移中点总在时间中点之后，故中点位置速度更大。

逐差相等：连续相等时间 $T$ 内的位移差为常数。

$$\Delta x=x_{n+1}-x_n=aT^2$$

由逐差法可测加速度：$a=\frac{x_m-x_n}{(m-n)T^2}$。这是纸带实验测 $a$ 的核心方法。实际处理时取尽可能多的偶数段，前后两半分别求和相减，能减小误差：

$$a=\frac{(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)}{9T^2}$$

初速度为零的匀加速运动

设初速度 $v_0=0$，从静止开始匀加速，取相等时间间隔 $T$ 与相等位移间隔，有以下比例关系。

特征量	比例关系
第 $1$、$2$、$3$……个 $T$ 末的速度	$1:2:3:\dots$
前 $1$、$2$、$3$……个 $T$ 内的位移	$1^2:2^2:3^2:\dots$
第 $1$、$2$、$3$……个 $T$ 内的位移	$1:3:5:\dots$
通过前 $1$、$2$、$3$……段相等位移所用时间	$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\dots$

这些比例仅在 初速度为零 时成立，可快速处理选择题。

运动图像

$x\text{-}t$ 图像（位移–时间图像）描述位置随时间的变化：

• 图线的 斜率 表示速度，斜率越大速度越大；
• 直线表示匀速直线运动，曲线表示变速运动；
• 图线交点表示两物体在该时刻位置相同（相遇），不表示速度相同。

$v\text{-}t$ 图像（速度–时间图像）描述速度随时间的变化：

• 图线的 斜率 表示加速度；
• 图线与时间轴所围 面积 表示位移，轴上方为正、下方为负；
• 匀变速运动的 $v\text{-}t$ 图线为倾斜直线，匀速运动为水平直线。

图像	斜率	面积
$x\text{-}t$	速度	无意义
$v\text{-}t$	加速度	位移

两类图像都描述直线运动，图线本身 不是 物体的运动轨迹。

读图的通用方法：先看纵轴表示什么量，再看斜率和面积各代表什么。$v\text{-}t$ 图中，图线在时间轴上方表示正向运动、下方表示反向运动；面积的正负相加得总位移，面积绝对值相加得路程。两物体的 $v\text{-}t$ 图线交点表示 速度相同，而非相遇。

有些题目把基本公式改写后作图，化曲线为直线，便于取斜率、截距：

• $\frac{x}{t}\text{-}t$ 图像：由 $\frac{x}{t}=v_0+\frac{1}{2}at$，图线是直线，斜率为 $\frac{a}{2}$，纵截距为 $v_0$；
• $v^2\text{-}x$ 图像：由 $v^2=v_0^2+2ax$，图线是直线，斜率为 $2a$，纵截距为 $v_0^2$。

自由落体运动

自由落体运动（Free Fall）：物体只在 重力 作用下，从 静止 开始下落的运动。

• 是初速度为零、加速度为 $g$ 的匀加速直线运动；
• 重力加速度 $g$ 方向竖直向下，同一地点对一切物体相同，一般取 $g=9.8\ \text{m/s}^2$，粗略计算取 $10\ \text{m/s}^2$；
• $g$ 随纬度升高而增大，随高度升高而减小。

把基本公式中 $v_0=0$、$a=g$ 代入即得自由落体规律：

$$\begin{aligned} v & =gt \\ h & =\frac{1}{2}gt^2 \\ v^2 & =2gh \end{aligned}$$

竖直上抛运动：初速度竖直向上、只受重力，全程加速度为 $g$、方向向下。可视为匀减速上升与自由下落的组合，上升与下落经过同一位置时速率相等、时间相等。

取初速度 $v_0$、向上为正、$a=-g$，则上升到最高点用时 $t=\frac{v_0}{g}$，上升最大高度 $h=\frac{v_0^2}{2g}$。全过程可当作一个匀变速直线运动统一处理，不必分段。

测量与仪器

匀变速直线运动的规律，靠 打点计时器 记录纸带来研究。常用测量仪器如下。

• 刻度尺：读数要估读到最小分度的下一位。测长度时视线正对刻度、避免视差；
• 游标卡尺：主尺读整毫米，游标读小数。$n$ 分度游标的精度为 $\frac{1}{n}\ \text{mm}$（$10$ 分度为 $0.1\ \text{mm}$，$50$ 分度为 $0.02\ \text{mm}$），最终读数 $=$ 主尺整毫米数 $+$ 游标对齐格数 $\times$ 精度，不估读；
• 螺旋测微器（千分尺）：精度 $0.01\ \text{mm}$，读数 $=$ 固定刻度 $+$ 可动刻度格数 $\times 0.01\ \text{mm}$，可动刻度要 估读 到 $0.001\ \text{mm}$；
• 打点计时器：接交流电源，每隔固定时间打一个点。电磁打点计时器用 $4\sim 6\ \text{V}$ 交流电，电火花计时器用 $220\ \text{V}$ 交流电；我国市电频率 $50\ \text{Hz}$，故打点间隔 $0.02\ \text{s}$。

纸带处理：先判断点迹疏密（越密速度越小），舍去开头过密的点，再按相等时间间隔选取计数点。相邻计数点间常隔几个计时间隔，注意区分 计时间隔 与 计数间隔。由平均速度公式，某计数点的瞬时速度用其前后两点的位移除以对应时间求得。

相互作用——力

力

力（Force）：物体间的 相互作用，用 $\vec{F}$ 表示，是矢量。

• 力的 三要素：大小、方向、作用点；
• 力的作用是 相互 的，有施力物体必有受力物体；
• 力的作用效果：改变物体的 运动状态（产生加速度）或使物体 发生形变；
• 单位是 牛顿（Newton，N）。

按性质分为重力、弹力、摩擦力等；按效果分为动力、阻力、压力、拉力等。同一个力按性质和按效果的命名不冲突：斜面对物体的支持力（性质是弹力）也可称为支持力（按效果）。向心力、拉力等效果力，都由某个性质力充当。

受力分析 是力学的基础，标准步骤：

1. 明确研究对象（单个物体或系统）；
2. 按 重力、弹力、摩擦力、其他力 的顺序逐个分析；
3. 只画物体 受到 的力，不画它对别人的力；
4. 检查每个力是否有施力物体，防止漏力、添力。

先重力（一定有）、再接触力（弹力、摩擦力，看有无接触和挤压）、最后其他力，可避免遗漏。分析多个物体时，能用 整体法 就用整体法，只关注系统外力，避开内部相互作用。

重力

重力（Gravity）：由于 地球的吸引 而使物体受到的力。

• 大小 $G=mg$，方向 竖直向下（不是指向地心，也不垂直于斜面）；
• 作用点在物体的 重心；
• 重力是地球引力的一个分力，一般近似认为重力等于地球引力。

严格地说，地球引力提供了重力与随地球自转所需的向心力两部分，故重力方向一般不严格指向地心。只有在两极和赤道，重力方向才恰好过地心。

重心：物体各部分所受重力的等效作用点。

• 位置与物体的 形状 和 质量分布 有关；
• 质量分布均匀、形状规则的物体，重心在其 几何中心；
• 重心可以在物体之外，如圆环、L 形板的重心。

确定重心位置的常用方法：

• 对称法：物体有对称轴时，重心必在对称轴上，多条对称轴的交点即为重心；
• 悬挂法：质量分布均匀的薄板，先后在两点悬挂，两次铅垂线的交点即为重心；
• 分割法：把物体拆成几个重心已知的部分，逐次求两部分的合重心；
• 补偿法：挖去一块的物体，可看作完整物体与一块「负质量」的叠加，用分割法求解。

重心是重力的等效作用点，并非物体上真实存在质量最集中的点。

弹力

弹力（Elastic Force）：发生 弹性形变 的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力。

• 产生条件：直接接触 且 发生弹性形变；
• 常见弹力有压力、支持力、拉力（绳的张力）；
• 方向总是 垂直于接触面，指向被支持（被压）的物体，即指向形变恢复的方向；
• 绳的拉力沿绳收缩方向，绳只能拉不能压。

胡克定律（Hooke's Law）：在弹性限度内，弹簧的弹力与形变量成正比。

$$F=kx$$

其中 $k$ 为 劲度系数，单位 $\text{N/m}$，由弹簧本身决定；$x$ 为形变量（伸长或压缩的长度），不是 弹簧总长。

弹力方向的判断规律：

接触类型	弹力方向
面与面接触	垂直于接触面
点与面接触	垂直于面
点与点接触	垂直于公切面
绳与物体	沿绳指向绳收缩方向

弹力有无不易判断时，可用 假设法：假设撤去接触面，看物体是否还能保持原状，能保持则原来无弹力，否则有弹力。也可结合运动状态反推。

摩擦力

摩擦力（Friction）：两个 接触且相互挤压 的物体，当发生 相对运动 或有 相对运动趋势 时，在接触面上产生的阻碍相对运动（趋势）的力。

• 滑动摩擦力：相对滑动时产生，方向与 相对运动方向相反；

$$f=\mu F_N$$

其中 $\mu$ 为 动摩擦因数（无单位），$F_N$ 为正压力（垂直于接触面）。$f$ 只与 $\mu$ 和 $F_N$ 有关，与接触面积、相对速度无关。

• 静摩擦力：有相对运动趋势但未滑动时产生，方向与 相对运动趋势方向相反；
• 静摩擦力大小随外力变化，取值范围 $0<f\le f_{\max}$，最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，中学中常近似相等。

	滑动摩擦力	静摩擦力
产生条件	相对滑动	有相对运动趋势
方向	与相对运动方向相反	与相对运动趋势方向相反
大小	$f=\mu F_N$（定值）	$0<f\le f_{\max}$（可变）

摩擦力方向与物体 运动方向 无必然联系：静摩擦力可以是动力，如传送带带动物体、人走路时地面对脚的摩擦。

判断摩擦力方向的关键，是找 相对运动（趋势） 的方向，而不是物体对地的运动方向。滑动摩擦力用 相对运动方向 判断，静摩擦力用 相对运动趋势 判断。趋势方向不明显时，可用假设法：假设接触面光滑，看物体将向哪个方向滑动，趋势即指向该方向，静摩擦力与之相反。

斜面上的物体是否下滑：物体放在倾角 $\theta$ 的粗糙斜面上，沿斜面下滑分量为 $mg\sin\theta$，最大静摩擦力约为 $\mu mg\cos\theta$。比较两者：

• $\tan\theta>\mu$ 时物体下滑；
• $\tan\theta\le\mu$ 时物体保持静止，与物体质量无关。

后一情形称为 自锁：只要斜面足够粗糙、倾角足够小，无论物体多重都不会自行下滑。

力的合成

合力与分力：若一个力产生的效果与几个力共同作用的效果相同，则这个力叫那几个力的 合力，那几个力叫它的 分力。合力与分力是 等效替代 关系，二者不同时作为物体的受力参与分析。

平行四边形定则：求两个共点力的合力时，以表示两力的有向线段为邻边作平行四边形，其 对角线 表示合力的大小和方向。

• 两力同向时合力最大 $F=F_1+F_2$，反向时最小 $F=|F_1-F_2|$；
• 合力范围 $|F_1-F_2|\le F\le F_1+F_2$；
• 夹角越大，合力越小；合力可能大于、等于或小于任一分力。

两个互相垂直的力 $F_1$、$F_2$ 的合力大小为：

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$$

夹角为 $\theta$ 的两力合成，合力大小的一般公式为：

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\theta}$$

• $\theta=0$ 时 $F=F_1+F_2$（最大）；
• $\theta=90^\circ$ 时 $F=\sqrt{F_1^2+F_2^2}$；
• $\theta=180^\circ$ 时 $F=|F_1-F_2|$（最小）。

多个力合成时，可先合成其中两个，再把结果与下一个力合成，逐次进行。力的合成没有先后顺序，交换次序不影响结果。

力的分解

力的分解 是合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则。

• 一个力可分解为无数对分力，需按 实际作用效果 或题目要求分解；
• 常用 正交分解：把力沿两个互相垂直的方向分解，化矢量运算为代数运算。

斜面上重力的分解是典型模型：物体在倾角 $\theta$ 的斜面上，重力 $G$ 分解为沿斜面向下的 $G\sin\theta$ 和垂直斜面向下的 $G\cos\theta$。

$$\begin{aligned} G_{\parallel} & =G\sin\theta \\ G_{\perp} & =G\cos\theta \end{aligned}$$

正交分解的步骤：选坐标轴（一般沿运动方向和垂直方向）、将各力投影到两轴、分别对两轴列方程。坐标轴的选取以让尽量多的力落在轴上、待分解的力尽量少为原则。

共点力的平衡

共点力：作用于同一点，或作用线相交于同一点的几个力。

平衡状态：物体处于 静止 或 匀速直线运动 状态，此时加速度为零。

共点力平衡条件：物体所受合力为零。

$$\vec{F}_{\text{合}}=0$$

正交分解后，平衡条件写为两个方向上的分量平衡：

$$\begin{aligned} \sum F_x & =0 \\ \sum F_y & =0 \end{aligned}$$

• 二力平衡：两力等大、反向、共线；
• 三力平衡：任意两力的合力与第三个力等大反向，三力可首尾相接构成 闭合三角形，且三力必共面、共点；
• 处理平衡问题常用正交分解法、力的三角形法、相似三角形法。

三种方法的适用情形：

• 正交分解法：受力较多（三个以上）时通用，把矢量运算化为两个方向的代数运算；
• 力的三角形法：只受三个力时，将三力首尾相接构成闭合三角形，用几何关系求解；
• 相似三角形法：力的三角形与几何图形中的三角形相似时，用对应边成比例求解。

一类常考的 动态平衡 问题：物体所受三个力中，一个大小方向都不变（恒力）、一个方向不变而大小可变、一个大小方向都可变。把三力画成首尾相接的三角形，让恒力固定不动、方向不变的力沿其方向平移，第三个力的箭头端在一条直线上滑动，各力的变化趋势一目了然。

平衡的稳定性：物体偏离平衡位置后受到的合力，若指向平衡位置（回复力）为 稳定平衡（如光滑碗底的小球），若背离平衡位置为 不稳定平衡（如光滑球顶的小球），若仍为零则为 随遇平衡（如光滑水平面上的小球）。

运动和力的关系

牛顿第一定律

牛顿第一定律（Newton's First Law）：一切物体总保持 匀速直线运动状态 或 静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。又称 惯性定律。

• 揭示了力与运动的关系：力 不是 维持运动的原因，而是 改变 运动状态的原因；
• 定律描述的是不受力（或合力为零）的理想情形，无法直接由实验验证，是在伽利略理想斜面实验基础上经推理得出。

亚里士多德曾认为「力是维持运动的原因」，统治了近两千年。伽利略（Galileo Galilei，1564–1642）用理想斜面实验推翻这一观点：小球从斜面滚下再冲上另一斜面，若接触面光滑，总能回到原来的高度；减小另一斜面的倾角，小球要滚得更远才能达到同一高度；若第二个斜面放平，小球将永远运动下去。牛顿（Isaac Newton，1643–1727）在此基础上总结出第一定律。

惯性（Inertia）：物体保持原有运动状态不变的性质。

• 一切物体都有惯性，惯性是物体的固有属性；
• 质量 是惯性大小的 唯一 量度，质量越大惯性越大；
• 惯性与物体是否受力、速度大小、运动状态均无关。

牛顿第二定律

牛顿第二定律（Newton's Second Law）：物体加速度的大小与所受合外力成 正比，与质量成 反比，方向与 合外力方向相同。

$$\vec{F}=m\vec{a}$$

• 矢量性：$\vec{a}$ 的方向始终与合外力 $\vec{F}$ 的方向一致；
• 瞬时性：$a$ 与 $F$ 一一对应、同时产生同时消失，合力变化则加速度立即变化；
• 同体性：$F$、$m$、$a$ 对应同一物体。

瞬时性问题的关键是判断哪些力能突变。绳、接触面 的弹力可突变（剪断瞬间立即变为零），轻弹簧、橡皮绳 的弹力不能突变（形变来不及改变，瞬间保持原值）。分析瞬间加速度，要先判断各力在该瞬间的取值，再求合力。

应用牛顿第二定律解题的一般步骤：

1. 明确 研究对象，隔离受力分析；
2. 建立坐标系，正交分解各力；
3. 沿两轴列方程 $\sum F_x=ma_x$、$\sum F_y=ma_y$；
4. 求解并检验。

力学单位制

• 基本量：力学中选取 长度、质量、时间 为基本量，单位为米（m）、千克（kg）、秒（s）；
• 导出量：由基本量根据物理关系推导得到，如速度、加速度、力；
• 国际单位制（SI）：由基本单位和导出单位组成的单位体系。

导出量的单位可由基本单位组合表示，例如力的单位 $1\ \text{N}=1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^2$。列方程与运算时统一采用国际单位，可避免单位换算错误。检查一个物理公式是否合理，可看等号两边的单位是否一致。

超重与失重

物体在竖直方向有加速度时，对支持物的压力（或对悬绳的拉力）会偏离重力，出现超重或失重。这里对支持物的作用力称为 视重，物体所受重力称为 实重。设向上为正、加速度为 $a$，对物体用牛顿第二定律，再由牛顿第三定律得视重：

$$F_N=m(g+a)$$

• 超重：$F_N>mg$，物体有 向上 的加速度（加速上升或减速下降）；
• 失重：$F_N<mg$，物体有 向下 的加速度（加速下降或减速上升）；
• 完全失重：$a=g$、方向向下时 $F_N=0$，如自由落体、绕地球做圆周运动。

状态	加速度方向	视重与重力
超重	向上	$F_N>mg$
失重	向下	$F_N<mg$
完全失重	向下且 $a=g$	$F_N=0$

超重失重时物体的 实际重力不变，改变的只是对支持物的作用力（视重）。判断依据是加速度方向，与速度方向无关。

牛顿第三定律

牛顿第三定律（Newton's Third Law）：两个物体间的作用力与反作用力总是 大小相等、方向相反，作用在同一条直线上。

• 作用力与反作用力 同时产生、同时消失，是同一性质的力；
• 分别作用在 两个不同物体 上，效果不能抵消；
• 与二力平衡区别明显：平衡力作用在 同一物体 上，作用力与反作用力作用在 两个物体 上。

	作用力与反作用力	一对平衡力
作用对象	两个物体	同一物体
性质	一定相同	不一定相同
是否抵消	不能抵消	可以抵消
存在关系	同生同灭	可单独存在

一个常见错误：把「书对桌面的压力」与「桌面对书的支持力」当成一对，是对的；但把「书受的重力」与「桌面对书的支持力」当成作用力与反作用力则错——这两个力作用在同一物体（书）上，是一对平衡力。重力的反作用力是书对地球的吸引。

连接体问题

连接体：由绳、杆或接触面连接、一起运动的多个物体系统。处理方法有整体法与隔离法。

• 整体法：把加速度相同的几个物体看作一个整体，只分析外力，求系统的加速度；
• 隔离法：把某个物体单独取出，分析它受到的全部力（含相互作用力），求物体间的作用力。

典型思路：先用整体法求加速度，再用隔离法求内力。以质量 $m_1$、$m_2$ 的两物块在光滑水平面上被水平力 $F$ 推动为例，整体法得：

$$a=\frac{F}{m_1+m_2}$$

隔离后一物块，得两物块间的作用力 $F_N=m_2a=\frac{m_2}{m_1+m_2}F$。

质量分配原则：两物块由绳（或接触面）连接，只在一端施水平力 $F$ 时，连接处的相互作用力总是

$$T=\frac{m_1}{m_1+m_2}F$$

其中 $m_1$ 是 没有被 $F$ 直接作用 的那个物体的质量。这一结论与接触面是否光滑、系统是否倾斜无关，可直接套用。

常见连接体模型的处理要点：

• 叠放模型：上下两物体靠摩擦力连接，判断是否相对滑动是关键；
• 弹簧模型：弹簧连接的两物体加速度可以不同，弹力由形变量决定，且不能突变；
• 绳连模型：不可伸长的绳连接的物体，沿绳方向的加速度大小相等。

用整体法求出的作用力，与用另一个物体隔离求得的结果必然一致，可相互验证。

动力学的两类问题

牛顿第二定律 $\vec{F}=m\vec{a}$ 把 力 与 运动 联系起来，$a$ 是二者的桥梁。据此有两类基本问题。

• 已知受力求运动：先受力分析求合力，由 $a=\frac{F}{m}$ 求加速度，再用运动学公式求速度、位移、时间；
• 已知运动求受力：先用运动学公式求加速度，由 $F=ma$ 求合力，再分析各力。

类型	已知	桥梁	求解
已知力求运动	受力情况	$a=\frac{F}{m}$	速度、位移、时间
已知运动求力	运动情况	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	合力、各力

两类问题的核心都是加速度 $a$：由力经牛顿第二定律得 $a$，再由 $a$ 经运动学公式联系位移与速度。分析清 研究对象、画好 受力图、选对 坐标系，是解题的基础。

一道综合两类问题的例题：火箭在某无大气星球表面竖直上升，发射后 $\tau$ 时间内匀加速，箭内物体对支持物的压力是发射前的 $1.8$ 倍；此后火箭里的物体完全失重，直到落回表面。设星球重力加速度 $g$ 不随高度变化，求全程时间。加速段箭内物体超重，视重是实重的 $1.8$ 倍，故 $a=(1.8-1)g=0.8g$；$\tau$ 末火箭高度 $h=\frac{1}{2}a\tau^2$、速度 $v=a\tau$。完全失重表明发动机关闭，火箭此后只受重力，先减速上升再自由下落，直到 $-h=v t-\frac{1}{2}gt^2$。代入解得后段用时 $2\tau$，全程 $3\tau$。

抛体运动

曲线运动

物体运动轨迹为曲线的运动。物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向，时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，一定有加速度。

• 做曲线运动的条件：合外力（加速度）方向与速度方向不在同一直线上；
• 合力指向轨迹凹侧，速度、合力、轨迹三者「速度居中、合力偏向凹侧」；
• 若合力方向与速度方向相同或相反，则做直线运动。

运动类型	合力与速度	轨迹
直线运动	共线（同向或反向）	直线
曲线运动	不共线（成夹角）	曲线，偏向合力一侧

运动的合成与分解

一个复杂运动可看作两个（或多个）简单分运动的合成。合成与分解遵循 平行四边形定则（矢量运算），对位移、速度、加速度均成立。

• 等时性：合运动与各分运动经历的时间相同；
• 独立性：各分运动互不影响，各自独立进行；
• 等效性：各分运动的合效果与合运动等效。

沿相互垂直的两个方向分解最常用。设合速度 $\vec v$ 分解为 $v_x$、$v_y$：

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

合速度与 $x$ 轴夹角 $\theta$ 满足 $\tan\theta=\frac{v_y}{v_x}$。

判断合运动的性质，看合初速度与合加速度是否共线：两者共线做直线运动，不共线做曲线运动；合加速度恒定则为匀变速运动。

Example

小船渡河是典型的运动合成问题。船速 $\vec v_1$（船相对静水）与水速 $\vec v_2$（水相对岸）合成为船的实际速度。设河宽为 $d$：

• 渡河时间最短：船头正对对岸，垂直分速度最大（等于 $v_1$），$t_{\min}=\frac{d}{v_1}$，与水速无关，但会被冲向下游；
• 航程最短（$v_1>v_2$）：合速度垂直于河岸，船头指向上游，与岸成夹角 $\theta$ 满足 $\cos\theta=\frac{v_2}{v_1}$，最短航程即河宽 $d$；
• $v_1<v_2$ 时无法垂直渡河，此时合速度方向与 $v_1$ 垂直时航程最短。

关联速度

绳、杆连接或直接接触的物体，速度并不独立。约束限制了它们的相对运动，由此产生 关联速度。核心是一句话：沿约束方向（绳、杆或接触面法线）的分速度大小相等。

处理关联速度分三步：

• 找合速度：物体实际运动的方向就是合速度方向（轨迹的切线）；
• 分解：把合速度正交分解为「沿约束方向」与「垂直约束方向」两个分量；
• 建等式：让两物体沿约束方向的分速度相等，列方程求解。

沿绳（杆）速度相等，但加速度不一定相等——夹角在变，转动效果会额外贡献法向加速度。

Example

人拉船靠岸：岸上的人以速度 $v_1$ 匀速收绳，绳与水平方向夹角为 $\theta$。船的实际速度 $\vec v$ 是合速度，把它沿绳方向分解得 $v\cos\theta$。绳不可伸长，绳端沿绳的速度必须等于收绳速度：

$v\cos\theta=v_1\implies v=\frac{v_1}{\cos\theta}$

$\theta$ 越大，船速越大——船越靠近岸，收绳的效率越低。

平抛运动

将物体以水平初速度 $v_0$ 抛出，只受重力作用的运动。它是 匀变速曲线运动，加速度恒为 $g$、方向竖直向下。

平抛运动可分解为两个独立的分运动：

• 水平方向：匀速直线运动，速度恒为 $v_0$；
• 竖直方向：初速度为零的自由落体运动，加速度为 $g$。

设抛出点为原点、水平为 $x$ 轴、竖直向下为 $y$ 轴，经时间 $t$：

$$\begin{aligned} x & =v_0t \\ y & =\frac{1}{2}gt^2 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} v_x & =v_0 \\ v_y & =gt \end{aligned}$$

合速度 大小与方向：

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+(gt)^2}$

设合速度与水平方向夹角为 $\theta$，位移与水平方向夹角为 $\alpha$：

$$\begin{aligned} \tan\theta & =\frac{v_y}{v_0}=\frac{gt}{v_0} \\ \tan\alpha & =\frac{y}{x}=\frac{gt}{2v_0} \end{aligned}$$

由此得 $\tan\theta=2\tan\alpha$：速度方向与水平的夹角，其正切恒为位移方向夹角正切的两倍。这是平抛的重要几何性质。

飞行时间只由下落高度 $h$ 决定，与初速度无关：

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

水平射程 $x=v_0t=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$，射程由 $v_0$ 与 $h$ 共同决定。

Example

从高 $h$ 的桌面水平抛出小球，落地时速度与水平方向成 $45^\circ$，则 $v_y=v_0$，即 $gt=v_0$。又 $h=\frac{1}{2}gt^2$，联立可解出 $v_0=\sqrt{gh}$。

斜抛运动（选考了解）可分解为水平匀速与竖直方向的竖直上抛，同样是匀变速曲线运动。以 $45^\circ$ 抛出时射程最大。

类平抛运动：初速度方向与恒力方向垂直的匀变速曲线运动，都可套用平抛的分解方法。如带电粒子垂直进入匀强电场，沿初速度方向匀速、沿电场力方向匀加速，处理时把「$g$」换成 $a=\frac{F}{m}$ 即可，公式形式完全一致。

圆周运动

描述圆周运动的物理量

物体沿圆周运动，用以下物理量描述其快慢。

• 线速度 $\vec v$：弧长 $s$ 与时间 $t$ 之比，$v=\frac{s}{t}$，方向沿圆周切线，单位 $\mathrm{m/s}$；
• 角速度 $\omega$：半径转过的角度 $\varphi$ 与时间之比，$\omega=\frac{\varphi}{t}$，单位 $\mathrm{rad/s}$；
• 周期 $T$：转一圈所需时间；转速 $n$：单位时间转过的圈数；
• 频率 $f$：单位时间转过的圈数，$f=\frac{1}{T}$。

各量之间的关系：

$$\begin{aligned} \omega & =\frac{2\pi}{T}=2\pi f \\ v & =\frac{2\pi r}{T}=\omega r \end{aligned}$$

线速度、角速度、半径三者关系 $v=\omega r$ 是核心。判断两点快慢时须先看谁相同：

传动方式	相同量	关系
同轴转动	角速度 $\omega$ 相同	$v=\omega r$，半径大者线速度大
皮带 / 齿轮传动	线速度 $v$ 相同（不打滑）	$\omega=\frac{v}{r}$，半径大者角速度小

向心加速度

匀速圆周运动中，线速度大小不变、方向时刻改变，故速度是变化的，存在加速度。该加速度 方向始终指向圆心，称 向心加速度 $\vec a_n$，只改变速度方向、不改变速度大小。

$a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2r=\frac{4\pi^2}{T^2}r$

由三式可见：$v$ 相同时 $a_n$ 与 $r$ 成反比；$\omega$ 相同时 $a_n$ 与 $r$ 成正比。选用哪个表达式取决于题目给的是 $v$、$\omega$ 还是 $r$ 相同。

匀速圆周运动与非匀速圆周运动的对比：

类型	速率	向心加速度	合力
匀速圆周	不变	只有向心加速度	大小不变，始终指向圆心
非匀速圆周	改变	向心 + 切向加速度	有切向分量，改变速率

匀速圆周运动中「匀速」指速率不变，速度方向仍时刻改变，故仍是变速运动。

向心力

产生向心加速度的力称 向心力，方向始终指向圆心，是按 效果 命名的力，可由重力、弹力、摩擦力等一个或几个力提供（或它们的合力）。

$F_n=ma_n=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$

• 向心力只改变速度方向，不改变速度大小，不做功；
• 匀速圆周运动是变速运动、变加速运动（加速度方向变），但速率不变；
• 向心力是合外力沿半径指向圆心的分量；若合外力还有切向分量，则速率也改变，成为非匀速圆周运动。

分析圆周运动的基本方法：找出圆心、半径，对物体受力分析，把指向圆心方向的合力作为向心力，列 $F_n=m\frac{v^2}{r}$ 求解。

离心运动：向心力突然消失或不足时，物体沿切线飞出或逐渐远离圆心。所需向心力 $m\frac{v^2}{r}$ 大于实际提供的力，就做离心运动。脱水甩干、转弯车辆侧滑都是离心运动的例子。

Example

圆锥摆：细线上端固定，下端小球在水平面内做匀速圆周运动。小球受重力 $mg$ 与线的拉力 $F_T$，二者合力水平指向圆心。设线与竖直方向夹角 $\theta$、摆长 $L$，则圆周半径 $r=L\sin\theta$。

竖直方向平衡、水平方向提供向心力：

$$\begin{aligned} F_T\cos\theta & =mg \\ F_T\sin\theta & =m\omega^2r \end{aligned}$$

两式相除得 $\tan\theta=\frac{\omega^2r}{g}=\frac{\omega^2L\sin\theta}{g}$，解出 $\cos\theta=\frac{g}{\omega^2L}$。转得越快，$\theta$ 越大、球抬得越高。

拱形桥

汽车过桥是向心力方向随桥面弯曲方向变化的典型模型。物体受重力 $mg$ 与桥面支持力 $F_N$，二者的合力提供向心力，方向指向圆心。

• 凸形桥（圆心在下方）：向心力竖直向下，$mg-F_N=m\frac{v^2}{r}$，得 $F_N=mg-m\frac{v^2}{r}<mg$，桥面对车的支持力小于重力，车处于失重状态；速度越大压力越小，当 $v=\sqrt{gr}$ 时 $F_N=0$，车将飞离桥面；
• 凹形桥（圆心在上方）：向心力竖直向上，$F_N-mg=m\frac{v^2}{r}$，得 $F_N=mg+m\frac{v^2}{r}>mg$，压力大于重力，车处于超重状态。

由 $F_N$ 反作用于桥面可知：过凸形桥车对桥的压力小于重力，过凹形桥则大于重力。这也解释了在同一段路上，凹形桥面更易被压坏。

竖直平面内的圆周运动

竖直圆周运动是选考重点，关键在 最高点的临界条件。分两种模型。

轻绳模型（或轨道内侧）：物体靠绳的拉力与重力提供向心力，绳只能拉不能推。最高点绳拉力 $F_T\ge 0$，临界条件为 $F_T=0$，此时重力全部提供向心力：

$mg=m\frac{v_{\min}^2}{r}\implies v_{\min}=\sqrt{gr}$

$v_{\min}=\sqrt{gr}$ 是物体能通过最高点的最小速度。若 $v<\sqrt{gr}$，物体到不了最高点便脱离轨道。

轻杆模型（或双轨道 / 管道）：杆既能拉也能推，能提供向下或向上的支持力。最高点速度可以为零：

• $v=0$：杆的支持力 $F_N=mg$（向上）；
• $0<v<\sqrt{gr}$：杆提供向上支持力，$mg-F_N=m\frac{v^2}{r}$；
• $v=\sqrt{gr}$：$F_N=0$，重力恰好提供向心力；
• $v>\sqrt{gr}$：杆提供向下拉力，$mg+F_T=m\frac{v^2}{r}$。

模型	最高点临界速度	特点
轻绳 / 内轨	$v_{\min}=\sqrt{gr}$	只能拉，$v$ 须不小于临界值
轻杆 / 管道	$v_{\min}=0$	能拉能推，任意速度都可通过

必记公式表

物理量	公式	说明
速度公式	$v=v_0+at$	不含位移
位移公式	$x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$	不含末速度
速度位移公式	$v^2-v_0^2=2ax$	不含时间
平均速度	$\bar{v}=\frac{v_0+v}{2}=v_{t/2}$	仅匀变速
逐差公式	$\Delta x=aT^2$	连续相等时间
自由落体	$v=gt$，$h=\frac{1}{2}gt^2$	$v_0=0$，$a=g$
胡克定律	$F=kx$	$x$ 为形变量
滑动摩擦力	$f=\mu F_N$	与接触面积无关
牛顿第二定律	$F=ma$	力与运动的桥梁
平衡条件	$\sum F_x=0$，$\sum F_y=0$	加速度为零
平抛时间	$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$	只由下落高度决定
平抛合速度	$v=\sqrt{v_0^2+(gt)^2}$	水平匀速 + 竖直自由落体
线速度	$v=\omega r=\frac{2\pi r}{T}$	沿切线方向
向心加速度	$a_n=\frac{v^2}{r}=\omega^2r$	方向指向圆心
向心力	$F_n=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r$	按效果命名
竖直圆最高点临界	$v_{\min}=\sqrt{gr}$	绳 / 内轨模型