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矩阵

参考资料​

简介​

矩阵（Matrix）是按行列排布的数表。矩阵乘法 C=ABC=AB 定义为 Ci,j=∑kAi,kBk,jC_{i,j}=\sum_k A_{i,k}B_{k,j}，仅当 AA 的列数等于 BB 的行数时有定义，满足结合律但一般不满足交换律。矩阵快速幂 把线性递推写成 fn=Mfn−1f_n=Mf_{n-1}，用快速幂在 O(n3log⁡k)O(n^3\log k) 内求出 MkM^k，常用于加速斐波那契数列等线性递推。

实现​

499 Bcpp
struct Mat
{
	int n;
	ll a[N][N];
	Mat(){memset(a,0,sizeof a);n=0;}
	Mat operator*(const Mat &rhs) const
	{
		Mat res;
		res.n=n;
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			for(int j=0;j<n;j++)
			{
				for(int k=0;k<n;k++)
				{
					res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*rhs.a[k][j])%mod;
				}
			}
		}
		return res;
	}
	Mat operator^(ll rhs) const
	{
		Mat res,tmp=*this;
		res.n=n;
		for(int i=0;i<n;i++)res.a[i][i]=1;
		while(rhs)
		{
			if(rhs&1)res=res*tmp;
			tmp=tmp*tmp;
			rhs>>=1;
		}
		return res;
	}
};

例题​

洛谷 P3390 【模板】矩阵快速幂

给定 n×nn\times n 的矩阵 AA，求 AkA^k。

洛谷 P1939 矩阵加速（数列）

已知一个数列 aa，它满足：

ax={1x∈{ 1,2,3 }ax−1+ax−3x≥4a_x= \begin{cases} 1 & x\in\set{1,2,3} \\ a_{x-1}+a_{x-3} & x\geq 4 \end{cases}

求 aa 数列的第 nn 项对 109+710^9+7 取余的值。

洛谷 P1962 斐波那契数列

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

Fn={1 (n≤2)Fn−1+Fn−2 (n≥3)F_n=\left\{ \begin{aligned} 1\space(n\le 2) \\ F_{n-1}+F_{n-2}\space(n\ge 3) \end{aligned}\right.

请你求出 Fn mod 109+7F_n\bmod 10^9+7 的值。

洛谷 P1349 广义斐波那契数列

广义的斐波那契数列是指形如 an=p×an−1+q×an−2a_n=p\times a_{n-1}+q\times a_{n-2} 的数列。

今给定数列的两系数 pp 和 qq，以及数列的最前两项 a1a_1 和 a2a_2，另给出两个整数 nn 和 mm，试求数列的第 nn 项 ana_n 对 mm 取模后的结果。

洛谷 P1306 斐波那契公约数

对于 Fibonacci 数列：

fi={[i=1]i≤1fi−1+fi−2i>1f_i= \begin{cases} [i=1] & i\leq 1 \\ f_{i-1}+f_{i-2} & i\gt 1 \end{cases}

请求出 fnf_n 与 fmf_m 的最大公约数，即 gcd⁡(fn,fm)\gcd(f_n,f_m)。