快速幂

参考资料

• 快速幂 - OI Wiki
• 平方求幂 - 维基百科

快速幂

快速幂（Binary Exponentiation）把指数 $y$ 按二进制拆分，每一步将底数平方，遇到为 $1$ 的二进制位就把当前底数乘入答案，从而在 $O(\log y)$ 内求出 $x^y\bmod p$。

116 Bcpp

ll Pow(ll x,ll y)
{
	x%=mod;
	ll res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}

龟速乘

龟速乘用于计算 $x\times y\bmod p$，可以防止直接计算 $x\times y$ 过大导致溢出。

120 Bcpp

ll mul(ll x,ll y)
{
	x%=mod;
	ll res=0;
	while(y)
	{
		if(y&1)res=(res+x)%mod;
		x=(x+x)%mod;
		y>>=1;
	}
	return res;
}

另外两种实现：

__int128

55 Bcpp

ll mul(ll a,ll b,ll mod)
{
	return __int128(a)*b%mod;
}

long double

75 Bcpp

ll mul(ll a,ll b,ll mod)
{
	return (a*b-ll(ld(a)/mod*b+0.5)*mod+mod)%mod;
}

例题

洛谷 P1226 【模板】快速幂

给定三个整数 $a,b,p$，求 $a^b\bmod p$。（$a,b,p<2^{31}$）