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数学：尺规作图

尺规作图（Compass-and-straightedge Construction）是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。

参考资料​

公法​

尺规作图只允许以下操作，且只能进行有限次：

  1. 已知两点，作过这两点的直线；
  2. 已知一点为圆心、一线段为半径，作圆；
  3. 求两条直线的交点；
  4. 求一条直线与一个圆的交点；
  5. 求两个圆的交点。

「直尺」只能画直线，不能度量长度；「圆规」一离开纸面就会收拢，不能直接搬运长度。一切作图都必须由上述操作组合而成。

基本作图​

由公法可以组合出许多常见的基本作图：

  • 作线段的垂直平分线：分别以两端点为圆心、以大于半线段长为半径作弧，两弧交于两点，连线即为垂直平分线；
  • 作角平分线：以顶点为圆心作弧交两边，再以两交点为圆心作等半径弧相交，连顶点与交点；
  • 过一点作已知直线的垂线：以该点为圆心作弧交直线于两点，再作这两点的垂直平分线。

这些作图都只用到了公法，因此都是合法的。

可作图数​

把作图放到坐标系中：给定单位长度 11，所有能作出的线段长度构成一个数集，称为 可作图数（Constructible Number）。

四则运算​

已知长度为 aa、bb 的线段：

  • 加减：在同一直线上顺次截取，得到 a+ba+b 与 a−ba-b；
  • 乘除：利用相似三角形。在一条射线上取 OA=1OA=1、OB=aOB=a，另一条射线上取 OC=bOC=b；连 ACAC，过 BB 作 ACAC 的平行线交后者于 DD，由 OAOB=OCOD\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{OC}{OD} 得 OD=abOD=ab，同理可作 ab\dfrac{a}{b}。

所以可作图数对加、减、乘、除封闭，构成一个 域（Field）。

开平方​

以 a+1a+1 为直径作半圆，在直径上距一端 aa、距另一端 11 处作垂线交半圆于 PP。由 射影定理，该垂线段长为 aa 与 11 的几何平均：

h=a⋅1=ah=\sqrt{a\cdot 1}=\sqrt{a}

所以可作图数还对开平方封闭。

代数刻画​

综合以上：

一个实数可被尺规作出，当且仅当它能从有理数出发，经过有限次加、减、乘、除、开平方得到。

每开一次平方，相当于把当前数域 KK 扩张为 K(d)K(\sqrt{d})，是一次 二次扩张。于是任意可作图数 α\alpha 都落在一条二次扩张塔的顶端：

Q=K0⊂K1⊂⋯⊂Kn,[Ki+1:Ki]=2\mathbb{Q}=K_0\subset K_1\subset\dots\subset K_n,\quad [K_{i+1}:K_i]=2

因此 α\alpha 在有理数域上的扩张次数是 22 的幂：

[Q(α):Q]=2m[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=2^m

即 α\alpha 的极小多项式次数必为 22 的幂。这是判定「不可作图」的关键工具——只要目标数的次数不是 22 的幂，它就无法尺规作出。

三大难题​

古希腊三大几何难题困扰了数学家两千余年，最终都被证明 不可能。

倍立方​

已知一个立方体，求作另一个立方体，使其体积为原来的两倍。

设原棱长为 11，则新棱长 xx 满足 x3=2x^3=2，即 x=23x=\sqrt[3]{2}。

它是多项式 x3−2x^3-2 的根。由有理根定理，x3−2=0x^3-2=0 没有有理根；三次多项式无有理根即在 Q\mathbb{Q} 上不可约，故：

[Q(23):Q]=3[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3

33 不是 22 的幂，所以 23\sqrt[3]{2} 不可作图，倍立方不可能。

三等分角​

给定任意角，求作它的三等分角。

并非所有角都不能三等分（如 90∘90^\circ 可以），但 一般角 不行。取可作图的 60∘60^\circ 为例。

由三倍角公式：

cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

令 θ=20∘\theta=20^\circ，则 3θ=60∘3\theta=60^\circ，cos⁡60∘=12\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}：

4cos⁡320∘−3cos⁡20∘=124\cos^3 20^\circ-3\cos 20^\circ=\frac{1}{2}

令 x=cos⁡20∘x=\cos 20^\circ，整理得：

8x3−6x−1=08x^3-6x-1=0

该多项式没有有理根（候选 ±1,±12,±14,±18\pm 1,\pm\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{1}{4},\pm\dfrac{1}{8} 均不满足），故在 Q\mathbb{Q} 上不可约：

[Q(cos⁡20∘):Q]=3[\mathbb{Q}(\cos 20^\circ):\mathbb{Q}]=3

33 不是 22 的幂，所以 20∘20^\circ 不可作图，60∘60^\circ 无法被三等分。

化圆为方​

已知一个圆，求作一个与它面积相等的正方形。

设圆半径为 11，面积为 π\pi，则正方形边长为 π\sqrt{\pi}。

若 π\sqrt{\pi} 可作图，则它是代数数，π=(π)2\pi=(\sqrt{\pi})^2 也是代数数。但 斐迪南·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann，1852–1939）在 18821882 年证明了 π\pi 是 超越数（Transcendental Number），不是任何有理系数多项式的根。

矛盾，所以化圆为方不可能。

正多边形​

正多边形能否尺规作图，由 高斯–万策尔定理（Gauss–Wantzel Theorem）完全刻画：

正 nn 边形可尺规作图，当且仅当 n=2kp1p2⋯ptn=2^k p_1 p_2\cdots p_t，其中 p1,…,ptp_1,\dots,p_t 是互不相同的 费马素数（Fermat Prime）。

作正 nn 边形等价于作出中心角 2πn\dfrac{2\pi}{n}，也就是作出 cos⁡2πn\cos\dfrac{2\pi}{n}；可以证明它可作图当且仅当 欧拉函数 φ(n)\varphi(n) 是 22 的幂。

费马素数形如 Fm=22m+1F_m=2^{2^m}+1，目前已知的只有五个：

3,5,17,257,655373,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65537

因此：

  • 正 3,4,5,6,8,10,12,15,16,173,4,5,6,8,10,12,15,16,17 边形可作图；
  • 正 7,9,11,13,147,9,11,13,14 边形不可作图。

17961796 年，不满 1919 岁的 卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777–1855）证明了正 1717 边形可尺规作图，并给出 cos⁡2π17\cos\dfrac{2\pi}{17} 的根式表达：

cos⁡2π17=−116+11617+11634−217+1817+317−34−217−234+217\cos\frac{2\pi}{17}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\sqrt{17}+\frac{1}{16}\sqrt{34-2\sqrt{17}}+\frac{1}{8}\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}

这一发现让他坚定地走上数学之路。据说高斯曾希望墓碑上刻一个正 1717 边形，但雕刻师以「刻出来和圆没有区别」为由婉拒；如今故乡布伦瑞克的高斯纪念碑上，以一颗 1717 角星代替。

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