《概率论与数理统计》

参考资料

• 《概率论与数理统计》4小时期末不挂科|附赠讲义 - 蜂考 - bilibili
• 概率论 - 维基百科
• 数理统计 - 维基百科

引入

这门课分两半：

• 概率论：已知分布 → 推算事件发生的概率与随机变量的特征。
• 数理统计：已知样本 → 反推总体的分布或参数。

两者的桥梁是 大数定律与中心极限定理：它告诉我们「样本均值会收敛于总体期望」，并给出了正态近似的依据。

章节大纲

• 随机事件与概率：样本空间、古典 / 几何概型、条件概率、独立性。
• 随机变量与分布：离散 / 连续型、常见分布、多维联合分布。
• 数字特征：期望、方差、协方差、相关系数。
• 大数定律与中心极限定理：切比雪夫不等式、依概率收敛、CLT。
• 数理统计：抽样分布、参数估计、假设检验。

速查表

常用分布的期望与方差

分布	$E(X)$	$D(X)$
$B(n,p)$	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
$U(a,b)$	$\dfrac{a+b}{2}$	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
$E(\lambda)$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{1}{\lambda^2}$
$N(\mu,\sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$

三大公式

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$ $$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)},\quad P(B_k\mid A)=\frac{P(B_k)P(A\mid B_k)}{\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)}$$

学习建议

• 抓住「条件概率」这条主线。 全概率、贝叶斯、独立性都是它的不同表述。
• 熟记常见分布。 形式 + 期望 + 方差 + 物理含义，考试和应用都会反复用到。
• 正态分布是终点。 各种检验、置信区间最后都归到标准正态表上。