导数

参考资料

• 导数 - 维基百科
• 链式法则 - 维基百科
• [Manim动画]导！导！导！初中生也能理解的导数的概念 - bilibili

极限

简单来说，函数的 极限 就是当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，$f(x)$ 会越来越靠近某个 确定 的值 $t$，这个值就是函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限，记作：

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=t$$

Example

Example 1

求极限 $\lim_{x\to +\infty}\frac{3x-1}{x+3}$。

$x$	$3x-1$	$x+3$	$(3x-1)/(x+3)$
$1$	$2$	$4$	$0.5$
$10$	$29$	$13$	$2.23076923077$
$100$	$299$	$103$	$2.90291262136$
$1000$	$2999$	$1003$	$2.99002991027$
$10000$	$29999$	$10003$	$2.99900029991$
$100000$	$299999$	$100003$	$2.999900003$

随着 $x$ 趋近于 $+\infty$，函数值逐渐趋近 $3$，所以 $\lim_{x\to +\infty}\frac{3x-1}{x+3}=3$。

Example 2

求极限 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$。

$x$	$\sin x$	$\sin(x)/x$
$1$	$0.841470984808$	$0.841470984808$
$0.1$	$0.0998334166468$	$0.998334166468$
$0.01$	$0.00999983333417$	$0.999983333417$
$0.001$	$0.000999999833333$	$0.999999833333$
$0.0001$	$0.0000999999998333$	$0.999999998333$
$0.00001$	$0.00000999999999983$	$0.999999999983$

随着 $x$ 趋近于 $0$，函数值逐渐趋近 $1$，所以 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。（洛必达法则）

切线

定义

《人教版高中数学·选择性必修二》：在曲线 $y=f(x)$ 上任取一点 $P(x,f(x))$，如果当点 $P(x,f(x))$ 沿着曲线 $y=f(x)$ 无限趋近于点 $P_0(x_0,f(x_0))$ 时，割线 $P_0P$ 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线 $y=f(x)$ 在点 $P_0$ 处的切线（tangent line）。

理解

切线就是一条 恰好碰到 曲线上某一点的直线。

斜率

在初中阶段，我们学过一次函数 $y=kx+b$，其中 $k$ 就是直线的 斜率。

两点确定一条直线 $y=kx+b$，设两点分别为 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$。

代入一次函数：

$$\begin{cases} y_1=kx_1+b \\ y_2=kx_2+b \\ \end{cases}$$

用第二个减去第一个：

$$y_2-y_1=k(x_2-x_1)$$

解得：

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

所以斜率 $k$ 等于 两点纵横坐标之差之比，即 纵横坐标增量之比。

概念

定义

《人教版高中数学·选择性必修二》：假设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$，相对应的函数取得增量 $\Delta y$，如果 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 在 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导。

理解

导数就是函数在某点处的 瞬时变化率。

$f(x)$ 的导数通常记为 $f'(x)$ 或 $y'$，而一个式子的导数通常在最后加 撇号（$'$）。

Example

$ax^2+bx+c$ 的导数可以写作 $(ax^2+bx+c)'$。

代数意义

平均速度：一段路程的变化（$\Delta s$）和时间的变化（$\Delta t$）之比，即：

$$V=\frac{\Delta s}{\Delta t}$$

瞬时速度：瞬间路程的变化（$\Delta s$）和时间的变化（$\Delta t$）之比，此时 $\Delta t \to 0$，即：

$$V=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}$$

tip

这里不区分「速度与速率」「路程与位移」。

而 瞬时变化率 和 瞬时速度 类似，即：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

函数在 $x$ 处的函数值为 $f(x)$，增加 $\Delta x$ 后，函数值变成 $f(x+\Delta x)$，所以增量 $\Delta y$ 就是 $f(x+\Delta x)-f(x)$。

所以 $f(x)$ 的导数计算公式为：

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

几何意义

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

不难发现 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 就是切线斜率 $k$ 的定义，所以导数的几何意义是 函数在某点处切线的斜率。

tip

有限个无穷小量相加减结果是无穷小量，无穷小量乘或除以任意有限的量结果是无穷小量。

Example

y=C

已知 $f(x)=C$（$C$ 为常数），求 $f'(x)$。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{C-C}{\Delta x}=0 \end{aligned}$$

y=x

已知 $f(x)=x$，求 $f'(x)$。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \end{aligned}$$

y=x^2

已知 $f(x)=x^2$，求 $f'(x)$。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{2x \Delta x+{\Delta x}^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}2x+\Delta x=2x \end{aligned}$$

公式

常函数

$$f(x)=C$$ $$f'(x)=0$$

幂函数

$$f(x)=x^a(a \in \mathbb{R},a\ne 0)$$ $$f'(x)=ax^{a-1}$$

tip

y=1/x

$$f(x)=\frac{1}{x}$$$$f'(x)=(x^{-1})'=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$$

y=sqrt{x}

$$f(x)=\sqrt{x}$$$$f'(x)=(x^{0.5})'=0.5x^{-0.5}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

指数函数

$$f(x)=a^x(a>0)$$ $$f'(x)=a^{x}\ln{a}$$

tip

$$f(x)=e^x$$$$f'(x)=e^x\ln{e}=e^x$$

对数函数

$$f(x)=\log_a{x}(a>0,a\ne 1)$$ $$f'(x)=\frac{1}{x\ln{a}}$$

tip

$$f(x)=\ln{x}(a>0,a\ne 1)$$$$f'(x)=\log_e{x}=\frac{1}{x\ln{e}}=\frac{1}{x}$$

三角函数

$$f(x)=\sin{x}$$ $$f'(x)=\cos{x}$$ $$f(x)=\cos{x}$$ $$f'(x)=-\sin{x}$$

公式总结

• $C'=0$（$C$ 为常数）
• $(x^a)'=ax^{a-1}$（$a \in \mathbb{R}, a\ne 0$）
• $(a^x)'=a^{x}\ln{a}$（$a>0$）
• $(\log_a{x})'=\frac{1}{x\ln{a}}$（$a>0,a\ne 1$）
• $(\sin{x})'=\cos{x}$
• $(\cos{x})'=-\sin{x}$

运算

和差的导数

$$[f(x) \pm g(x)]'=f(x)' \pm g(x)'$$

积的导数

$$[f(x) \cdot g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)'$$

tip

$$[k \cdot f(x)]'=k'f(x)+kf'(x)=kf'(x)$$

商的导数

$$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f(x)'g(x)-f(x)g(x)'}{[g(x)]^2}(g(x)\ne 0)$$

tip

$$\left[\frac{1}{f(x)}\right]'=\frac{1'f(x)-f(x)'}{[f(x)]^2}=-\frac{f(x)'}{[f(x)]^2}(f(x)\ne 0)$$

公式总结

• $[f(x) \pm g(x)]'=f(x)' \pm g(x)'$
• $[f(x) \cdot g(x)]'=f(x)'g(x)+f(x)g(x)'$
• $[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f(x)'g(x)-f(x)g(x)'}{[g(x)]^2}(g(x)\ne 0)$

应用

导数刻画函数在 某一点 的变化率，因此可用于研究函数的 单调性、极值 与 最值，进而处理 不等式证明、零点个数 等问题。

单调性

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导：

• 若 $\forall x\in I,\ f'(x)\geq 0$（且不恒为 $0$），则 $f(x)$ 在 $I$ 上 单调递增。
• 若 $\forall x\in I,\ f'(x)\leq 0$（且不恒为 $0$），则 $f(x)$ 在 $I$ 上 单调递减。

求 $f(x)$ 单调区间的标准步骤：

1. 求定义域。
2. 求 $f'(x)$。
3. 解 $f'(x)>0$ 和 $f'(x)<0$，得到的解集即为单调递增、递减区间。

tip

单调区间必须写在 定义域之内，且分隔的区间之间一般用 逗号 而不用并集符号 $\cup$。

Example

求 $f(x)=x^3-3x$ 的单调区间。

$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。

• $f'(x)>0\iff x<-1$ 或 $x>1$，即递增区间为 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,+\infty)$。
• $f'(x)<0\iff -1<x<1$，即递减区间为 $(-1,1)$。

极值

设 $x_0$ 是 $f(x)$ 定义域内一点，若存在 $x_0$ 的某邻域 $U$ 使得 $\forall x\in U,\ f(x)\leq f(x_0)$（或 $\geq f(x_0)$），则称 $f(x_0)$ 是 $f(x)$ 的一个 极大值（或 极小值），$x_0$ 称为 极值点。

极值点的必要条件：若 $x_0$ 是可导函数 $f(x)$ 的极值点，则 $f'(x_0)=0$。

tip

$f'(x_0)=0$ 是极值点的 必要不充分 条件。例如 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 处 $f'(0)=0$，但 $x=0$ 不是 极值点。

判断 $x_0$ 是否为极值点，需进一步看 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧是否 变号：

• 左负右正 $\Rightarrow$ 极小值。
• 左正右负 $\Rightarrow$ 极大值。
• 同号 $\Rightarrow$ 不是 极值。

最值

闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 必有 最大值 和 最小值，且必在 极值点 或 端点 处取得。

求最值的标准步骤：

1. 求 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内所有满足 $f'(x)=0$ 的点。
2. 计算这些点及 $f(a),f(b)$ 的函数值。
3. 比较大小，最大者为最大值，最小者为最小值。

Example

求 $f(x)=x^3-3x$ 在 $[-2,2]$ 上的最值。

由上例，$f'(x)=0\Rightarrow x=\pm 1$，均在区间内。

• $f(-2)=-2$，$f(-1)=2$，$f(1)=-2$，$f(2)=2$。
• 最大值为 $2$（在 $x=-1$ 与 $x=2$ 取得），最小值为 $-2$（在 $x=-2$ 与 $x=1$ 取得）。

不等式证明

证明不等式 $f(x)\geq g(x)$ 的常用思路：构造 $h(x)=f(x)-g(x)$，借助导数证明 $h(x)$ 的最小值 $\geq 0$。

Example

证明 $\forall x>0,\ \ln x\leq x-1$。

构造 $h(x)=x-1-\ln x$，$x>0$。

$h'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$。

• $0<x<1$ 时 $h'(x)<0$，$h$ 单调递减；
• $x>1$ 时 $h'(x)>0$，$h$ 单调递增。

故 $h(x)\geq h(1)=0$，即 $\ln x\leq x-1$。等号当且仅当 $x=1$ 取得。

零点个数

讨论方程 $f(x)=0$ 的根的个数，本质是讨论 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴 交点 的个数。

常用思路：

1. 求 $f'(x)$，分析单调性，画出大致图像。
2. 计算 极值 与 端点值 / 极限值，根据零点存在定理判断。
3. 含参问题：转化为 参数分离 $a=g(x)$，再讨论水平直线 $y=a$ 与 $y=g(x)$ 图像的交点个数。

tip

参数分离 是处理 恒成立 与 零点存在 含参问题的利器：将参数 $a$ 解出后，问题转化为 $y=a$ 与某个不含参函数图像的位置关系，从而避开分类讨论。

扩展

链式法则

假设有三个相互咬合的齿轮，分别对应转动角度为 $x$、$g(x)$ 和 $f(g(x))$。

$g'(x)$ 表示第二个齿轮相对于第一个齿轮的传动速度比，$f'(g(x))$ 表示第三个齿轮相对于第二个齿轮的传动速度比。

第一个齿轮的速度变化为 $\Delta x$，第三个齿轮的速度变化则是 $f'(g(x))g'(x)$，所以复合函数的导数是各部分导数的乘积。

$$[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$$

高阶导数

零阶导数即原函数，一阶导数为零阶导数的导数；二阶导数为一阶导数的导数；三阶导数为二阶导数的导数，依此类推……

一个函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数就是对原函数求导 $n$ 次，一般写作 $f^{(n)}(x)$。

$$f^{(n)}(x)=[f^{(n-1)}(x)]'$$

微积分

详见 《微积分入门指南》。