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积分

参考资料​

辛普森积分法​

∫abf(x)dx≈b−a6[f(a)+4f(a+b2)+f(b)]\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\approx\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]

辛普森法用一段二次抛物线拟合被积函数，得到上面的近似式。自适应辛普森 递归地把区间二分：当左右两半的辛普森值之和与整段足够接近时停止，否则继续细分，从而在保证精度的同时控制计算量。下面的 f 为被积函数，调用 asr(l,r,eps,simpson(l,r)) 即得 [l,r][l,r] 上的积分。

318 Bcpp
double simpson(double l,double r)
{
	double mid=(l+r)/2;
	return (r-l)*(f(l)+4*f(mid)+f(r))/6;
}
double asr(double l,double r,double eps,double s)
{
	double mid=(l+r)/2;
	double sl=simpson(l,mid),sr=simpson(mid,r);
	if(fabs(sl+sr-s)<=15*eps)return sl+sr+(sl+sr-s)/15;
	return asr(l,mid,eps/2,sl)+asr(mid,r,eps/2,sr);
}

例题​

洛谷 P4525 【模板】自适应辛普森法 1

试计算积分：

∫LRcx+dax+bdx\displaystyle{\int_L^R\frac{cx+d}{ax+b}\mathrm{d}x}

结果保留至小数点后 66 位。

洛谷 P4526 【模板】自适应辛普森法 2

给定实数 aa，计算积分 ∫0∞xax−xdx\displaystyle{\int_0^\infty x^{\frac{a}{x}-x}\mathrm{d}x}。若积分发散，请输出 orz。（∣a∣≤50|a|\le 50）